sin36°的手工计算

之前看到一篇文章(见此),其中有说道sin36°的计算。

自己尝试了下,果真不会算。

其实不会算的原因在于没有画好图,而且参考了错误的思路。

下面演示下正确的计算方法:

草稿纸开始作图(如下图)

  • 画一个等腰三角形ABC,角C为36°。则角A角B均为72°。(三角形内角180°)
  • 画角A的角平分线,相交CB于E点。此时角EAB为36°。角AEB为72°。

通过以上两步,我们发现:

  • 我们有了三个等腰三角形。CAB和ECA和ABE。
  • 三角形相似,则对应边成比例。(来源于相似三角形公式)

image

下面,我们开始进行计算。

假设CB长度为1,此时CE=AE=AB为x。EB则为1-x。

相似三角形,底边比斜边相等:

$$\frac{BE}{AB} = \frac{AB}{CB}$$

即:

$$\frac{1-x}{x} = \frac{x}{1}$$

$$x^2 = 1-x$$

对结果进行整理:

$$x^2 +x-1= 0$$

使用求根公式:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

带入后得到:

$$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$$

在这里,显然是x>0的。所以:

$$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$

好。基本上每条线的长度我们都是已知的了。此时要求sin36°,可以转化为求角CAE的正弦。

我们再做一条辅助线:

  • 做E点的垂直线,相交CA于垂足D。

image

这样就有:

$$sin36^o = \frac{DE}{AE}=\frac{\sqrt{AE^2-AD^2}}{AE}$$

$$sin36^o=\frac{\sqrt{x^2-0.5^2}}{x}$$

$$sin36^o = \frac{\sqrt{(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^2-0.5^2}}{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$$

$$sin36^o =\frac{\sqrt{(\frac{6-2\sqrt{5}}{4})-\frac{1}{4}}}{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$$

$$sin36^o =\frac{\sqrt{\frac{5-2\sqrt{5}}{4}}}{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$$

$$sin36^o =\frac{\frac{1}{2}\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$$

$$sin36^o =\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{-1+\sqrt{5}}$$

$$sin36^o =\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}*\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}$$

$$sin36^o =\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}*\sqrt{(5+1+2\sqrt{5})}}{4}$$

$$sin36^o =\frac{\sqrt{(5-2\sqrt{5})}*\sqrt{(6+2\sqrt{5})}}{4}$$

$$sin36^o =\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$$

最终检验

sqrt(10-2*sqrt(5))/4

ans = 0.58779

sin(36/180*pi)

ans = 0.58779

计算正确。