之前看到一篇文章(见此),其中有说道sin36°的计算。
自己尝试了下,果真不会算。
其实不会算的原因在于没有画好图,而且参考了错误的思路。
下面演示下正确的计算方法:
草稿纸开始作图(如下图)
- 画一个等腰三角形ABC,角C为36°。则角A角B均为72°。(三角形内角180°)
- 画角A的角平分线,相交CB于E点。此时角EAB为36°。角AEB为72°。
通过以上两步,我们发现:
- 我们有了三个等腰三角形。CAB和ECA和ABE。
- 三角形相似,则对应边成比例。(来源于相似三角形公式)
下面,我们开始进行计算。
假设CB长度为1,此时CE=AE=AB为x。EB则为1-x。
相似三角形,底边比斜边相等:
$$\frac{BE}{AB} = \frac{AB}{CB}$$
即:
$$\frac{1-x}{x} = \frac{x}{1}$$
$$x^2 = 1-x$$
对结果进行整理:
$$x^2 +x-1= 0$$
使用求根公式:
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
带入后得到:
$$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$$
在这里,显然是x>0的。所以:
$$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$
好。基本上每条线的长度我们都是已知的了。此时要求sin36°,可以转化为求角CAE的正弦。
我们再做一条辅助线:
- 做E点的垂直线,相交CA于垂足D。
这样就有:
$$sin36^o = \frac{DE}{AE}=\frac{\sqrt{AE^2-AD^2}}{AE}$$
$$sin36^o=\frac{\sqrt{x^2-0.5^2}}{x}$$
$$sin36^o = \frac{\sqrt{(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})^2-0.5^2}}{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$$
$$sin36^o =\frac{\sqrt{(\frac{6-2\sqrt{5}}{4})-\frac{1}{4}}}{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$$
$$sin36^o =\frac{\sqrt{\frac{5-2\sqrt{5}}{4}}}{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$$
$$sin36^o =\frac{\frac{1}{2}\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$$
$$sin36^o =\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}}{-1+\sqrt{5}}$$
$$sin36^o =\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}*\sqrt{(\sqrt{5}+1)^2}}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}$$
$$sin36^o =\frac{\sqrt{5-2\sqrt{5}}*\sqrt{(5+1+2\sqrt{5})}}{4}$$
$$sin36^o =\frac{\sqrt{(5-2\sqrt{5})}*\sqrt{(6+2\sqrt{5})}}{4}$$
$$sin36^o =\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$$
最终检验
sqrt(10-2*sqrt(5))/4
ans = 0.58779
sin(36/180*pi)
ans = 0.58779
计算正确。